Le immense onde oceaniche che si abbattono sulle coste frastagliate dell’Algarve (toponimo derivante dall’arabo Al Garbh), sembrano travolgere il coraggioso surfista, ma quegli emerge miracolosamente da sotto la ripiegatura dell’onda che lo rincorre. E lui continua surfando… sull’orlo del caos.

Queste onde richiamano concetti matematici come i frattali da un lato, e filosofici come la complessità dall’altro, i cui assiomi primari sono stati approfonditi in questi anni da studiosi di fama come il russo Ilya Prigogyne e l’italiano Alberto F. De Toni, caro e valoroso amico, cui ho “rubato” la prima parte del titolo dal suo account di whattsapp.

Un concetto che si può riferire ai due sintagmi citati è autosimilarità, che in filosofia significa una sorta di analogia di partecipazione della parte (dell’ente) al tutto e viceversa. La sintesi espressiva di questo “tutto” può essere Unità nella Distinzione nella Relazione, che poi è lo slogan del mio blog.

Ecco dunque alcuni punti di tangenza tra filosofia, fisica, matematica e geometrie non euclidee.

Che cosa è un frattale: “un oggetto geometrico dotato di omotetia (in matematica e in particolare in geometria una omotetia composto dai termini greci omos, “simile” e dal verbo tìthemi, “pongo”) interna, cioè di una capacità di ripetersi nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale” (dal web).

Si dà dunque anche una geometria frattale, non euclidea che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, e nelle galassie. Ecco una formula logaritmica adeguata:

Anche in geometria, come in filosofia, si può definire questa caratteristica autosimilarità o autosomiglianza, mentre il termine “frattale” venne scelto nel 1975 da Benoit Mandelbrot nel volume Les Object Fractals: Forme, Hasard et Dimension.

Il termine deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione, vale a dire parti di un intero. I frattali si utilizzano nello studio dei sistemi dinamici e nella definizione di curve o insiemi e nella dottrina del caos. Sono descritti con equazioni e algoritmi in modo ricorsivo. Ad esempio, l’equazione che descrive l’insieme di Mandelbrot è la seguente: a_{n+1}=a_{n}^{2}+P_{0}}

dove a_{n}} e P_{0}} sono numeri complessi.

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali, come ad esempio nell’albero: in un abete, ogni ramo è approssimativamente simile all’intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo e così via; un altro esempio si trova nell’osservazione di una costa marina, dove si possono notare aspetti di auto-similarità nella forma che si ripete in baie e golfi sempre più piccoli e collocati in successione lungo la costa stessa.

Altre presenza di forme a frattali sono presenti in natura, come nel profilo geomorfologico delle montagne, delle nuvole, dei cristalli di ghiaccio, di foglie e fiori. Il Mandelbrot ritiene che le relazioni fra frattali e natura siano più profonde e numerose di quanto si creda. Ad esempio, con la stessa mente umana, intesa come organo del pensiero.

Un altro esempio di analisi delle cose si può ritrovare nella logica filosofica denominata fuzzy , che si inserisce a buon titolo in questo novero di ipotesi teoriche.

La logica fuzzy (o logica sfumata) è una teoria nella quale si può attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità diverso da 0 e 1 e compreso tra di loro. È una logica polivalente, peraltro già intuita da Renè Descartes, da Bertrand Russell, da Albert Einstein, da Werner Heinseberg e da altri meno conosciuti dai più.

In tema, con grado di verità o valore di appartenenza si intende quanto è vera una proprietà, che può essere, oltre che vera (= a valore 1) o falsa (= a valore 0) come nella logica classica, anche parzialmente vera e parzialmente falsa. Si tratta di una logica-in-relazione-ad-altro.

Si può ad esempio dire che:

• un neonato è “giovane” di valore 1
• un diciottenne è “giovane” di valore 0,8
• un sessantacinquenne è “giovane” di valore 0,15

Formalmente, questo grado di appartenenza è determinato da un’opportuna funzione di appartenenza μ_F(x)= μ. La x rappresenta dei predicati da valutare e appartenenti a un insieme di predicati X. La μ rappresenta il grado di appartenenza del predicato all’insieme fuzzy considerato e consiste in un numero reale compreso tra 0 e 1. Alla luce di quanto affermato, considerato l’esempio precedente e un’opportuna funzione di appartenenza monotona decrescente quello che si ottiene è:

• μ_F(neonato) = 1
• μ_F(diciottenne) = 0,8
• μ_F(sessantacinquenne) = 0,15

Aggiungiamo a questo novero di dottrine, anche la teorie del caos che troviamo in matematica, le quali possono mostrare anche una sorta di casualità (sul “caso” dirò dopo) empirica in variabili dinamiche, come nel frangente dell’oggetto matematico denominato asintoto (linea parabolica non-finita che si avvicina, senza mai toccarlo, a un segmento soprastante), mostrando come tra lo 0 e l’1 possano collocarsi infiniti (se pure relativamente) numeri o quote.

Ecco perché i paradossi di Zenone di Elea (VI secolo a. C.) possiedono una notevole perspicacia filosofica.

Comunemente il termine “caos” significa “stato di disordine“, ma nella sua dottrina può e deve essere definito con maggiore precisione, in quanto sistema dinamico, non statico, in questo seguente modo:

• deve essere sensibile alle condizioni iniziali;
• deve esibire la transitività topologica;
• deve avere un insieme denso di orbite periodiche.

La transitività topologica è una caratteristica necessaria implicante un sistema evolventesi nel tempo, in modo che ogni sua data “regione”, che è un insieme aperto, si potrà sovrapporre con qualsiasi altra regione data. In sostanza, le traiettorie del sistema dinamico caotico transiteranno nell’intero spazio delle fasi man mano che il tempo evolverà (da qui “transitività topologica”: ogni regione dello spazio delle fasi di dominio del sistema dinamico verrà raggiunta da un’orbita prima o poi). Questo concetto matematico di “mescolamento” corrisponde all’intuizione comune fornita ad esempio dalla dinamica caotica della miscela di due fluidi colorati.

La transitività topologica è spesso omessa dalle presentazioni divulgative della teoria del caos, che definiscono il caos con la sola sensibilità alle condizioni iniziali. Tuttavia, la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali da sola non dà il caos. Per controesempio, consideriamo il semplice sistema dinamico prodotto da raddoppiare ripetutamente un valore iniziale. Questo sistema ha la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ovunque, dal momento che qualsiasi coppia di punti vicini alla fine diventerà ampiamente separata. Tuttavia, questo esempio non ha la transitività topologica e quindi non è caotico. Infatti, ha un comportamento estremamente semplice: tutti i punti tranne 0 tenderanno a infinito positivo o negativo.

L’essere umano è la quintessenza della complessità, e il cervello la sua epitome-quintessenza, nel senso che ci hanno saputo spiegare in questi ultimi decenni i neuroscienziati. L’essere umano è l’esempio più formidabile della complessità vs. la complicazione.

Circa, infine, il caso, rinvio all’algoritmo più volte presentato in questo blog, laddove la differenza delle posizione dell’osservatore di un determinato fenomeno, rende il caso necessità. Mi riferisco alla topografia dell’incrocio stradale verso il quale si avviano due auto che viaggiano su strade perpendicolari, una delle quali ha la precedenza e l’altra no: chi può osservare dall’alto i due vettori CAUSALI incrociantisi, può affermare con sicurezza fattuale che, in determinate condizioni, esse (le due automobili) si scontreranno, al di fuori di ogni casualità, ma per perfetta causalità

Ripeto qui una facile espressione: la metatesi di una “u” cambia la “lettura logica” del mondo, e fa diventare “ordinato” il “disordine”.

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